对于复变量 $z\in\mathbb{C}$, 函数 $\sin z$ 有界吗?
这里首先复习一下 $e^z$ 的定义. 当 $z$ 取复数时, 模仿实变量函数 $e^x$ 的定义, 将 $e^z$ 定义为
\[
e^z=1+\frac{z^1}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots
\]
类似地, 定义 $\sin z$ 和 $\cos z$ 如下:
\[
\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}+\cdots
\]
\[
\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}+\cdots
\]
于是, 易得
\[
e^{iz}=\cos z+i\sin z\tag{1}
\]
对 $z\in\mathbb{C}$ 也成立.
令 $z$ 为 $-z$, 根据上面 $\sin z$ 和 $\cos z$ 的定义, 有
\[
e^{-iz}=\cos z-i\sin z.\tag{2}
\]
(1) 和 (2) 相乘, 得
\[
1=e^{iz}\cdot e^{-iz}=\cos^2 z+\sin^2 z.
\]
因此 $\sin ^2 z+\cos^2 z=1$ 对 $z\in\mathbb{C}$ 也成立.
最后, 由于 $e^z$ 可以是无界的, 故 $\sin z$ 和 $\cos z$ 也是无界的.